Selasa, 20 April 2021

Cara menghitung luas bulan Sabit (Belajar Geometri Lingkaran)

Ini adalah hasil eksplorasi belajar matematika geometri tentang menghitung bulan sabit pada lingkaran.  Ada hal menarik di sini yaitu :

Menurut Hippocrates, Luas bulan sabit sama dengan Luas segitiga imajiner, seperti berikut:

sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates

Luas segitiga ▵BOA sama dengan area bulan sabit ☾BEAF.
Dalam contoh di atas, sudut ∠BOD = 45°.
Namun, apakah ini juga berlaku apabila sudut ∠BOD tidak 45°? 
Ayo kita coba hitung.

Coba kita gunakan sudut aneh seperti 41°.
Bagaimana cara menghitungnya? 

1. Kita perlu mengetahui cara menghitung luas segitiga.

Contoh segitiga yang akan kita ukur:
Cara mengukur segitiga dengan lebar w dan tinggi h
Kita perlu mengetahui luas segitiga ▵ABC.
Bagaimana cara mengetahui luasnya? kita bisa memindahkan daerah yang berwarna biru dan hijau ke bawah seperti pada gambar di atas.
Jadinya bentuk segitiga ▵ABC menjadi kotak dengan ukuran w × (h ÷ 2) dan mudah diukur.
▵ABC = w × (h ÷ 2) = w × (h × (1/2)) = w × h × (1/2) = w × h ÷ 2
Kita perlu mengetahui panjang CD, dan mengggunakan sin dan cos.
OC = OG = OA = OB= OF
Sudut ∠COB = ∠FOC - ∠FOB = 90° - 41° = 49°
Sudut ∠AOB = ∠FOB × 2 = 82°
DB = cos ∠HOB × OB = cos 49° × 1 ≈ 0.6560590289905073
AB = DB × 2 ≈ 1.3121180579810146
DO = sin ∠HOB × OB = sin 49° × 1 ≈ 0.754709580222772
Area juring ⯊ADB (yang berbentuk setengah lingkaran) = (∠ADB ÷ 360°) × DB² × 𝛑 ≈ 0.6560590289905073² × 𝛑 × (180 ÷ 360) ≈ 0.6760918655090852
Area segitiga ▵AOB = DO × AB ÷ 2 ≈ 0.754709580222772 × 1.3121180579810146 ÷ 2 ≈ 0.4951340343707852
Area juring ⯊AOB = (∠AOB ÷ 360°) × 𝛑 × OF² ≈ (82° ÷ 360°) × 𝛑 × 1² ≈ 0.7155849933176751
Area tembereng yang berwarna biru = area juring ⯊AOB - area segitiga ▵AOB ≈ 0.7155849933176751 - 0.4951340343707852 ≈ 0.22045095894688993
Area bulan sabit (yang berwarna abu-abu) = area juring ⯊ADB - area tembereng yang berwarna biru ≈ 0.6760918655090852 - 0.22045095894688993 ≈ 0.45564090656219525
Area bulan sabit ≈ 0.45564090656219525 dan area segitiga ≈ 0.4951340343707852.
Kok, sepertinya berbeda, ya? apa karena angka pentingnya kurang banyak, atau memang mestinya berbeda?, untuk memastikannya, kita perlu menggunakan angka yang extrim contohnya 1 derajat.
Coba lihat gambar berikut (menurut saya menggunakan sudut 5° sudah cukup)

Catatan: luas segitiga ▵ABO = luas persegi-panjang ABIJ

Menurutmu, yang mana yang luas-nya lebih besar? luas persegi panjang ABIJ? atau luas bulan sabit ☾BEAF? sepertinya luas ABIJ lebih besar daripada luas bulan sabit ☾BEAF.
Jadi, teori Lune Of Hippocrates hanya bekerja apabila sudut BOD 45° derajat.
 
Soal lain tentang lingkaran dan luas yang sebangun: 

Tidak ada komentar:

Posting Komentar