Sedikit Aljabar & Geometri
Bagaimana cara menghitung √10 itu?
Coba lihat gambar berikut:
Sekarang, kita perlu menghitung x (karena √10 - √9 = x).
Kita sudah tahu bahwa gabungan dari kotak merah, biru, dan hitam tertumpuk (overlap) dengan kotak hitam, maka total luas kotak merah dan biru adalah 10 - 9 = 1
luas 1 kotak merah = x ⋅ 3. namun karena jumlah kotak merah adalah 2, maka luas total kotak merah = x ⋅ 3 ⋅ 2.
total luas kotak merah dan biru = x ⋅ 3 ⋅ 2 + x² = 1
1 - x² = x ⋅ 6
x = (1 - x²) ÷ 6
6 = (1 - x ⋅ x) ÷ x
6 = 1 ÷ x - x
x = 1 ÷ (6 + x)
Nah, persamaan ini tidak bisa diselesaikan karena nilai x bergantung dengan angka x itu sendiri(kecuali menggunakan akar-kuadrat. ini tidak bisa karena kita ingin membuat fungsi akar-kuadrat itu sendiri).
Maka untuk menghitungnya, kita bisa menggunakan iterasi (iteration).
Kita bisa mensubstitusi sebuah persamaan dengan persamaan itu sendiri.
Coba lihat:
x = 1 ÷ (6 + x)
= 1 ÷ (6 + (1 ÷ (6 + x)))
= 1 ÷ (6 + (1 ÷ (6 + (1 ÷ (6 + x)))))
= 1 ÷ (6 + (1 ÷ (6 + (1 ÷ (6 + (1 ÷ (6 + x)))))))
Memprogram iterasi perhitungan √10
Ketika kita menggunakan metode iterasi (untuk menghitung sebuah angka), kita tidak bisa menghitung angka dengan persis, tapi kita bisa menghitung aproksimasi angka. semakin banyak iterasi yang dilakukan, semakin akurat kita dengan angka sebenarnya.
Pada iterasi ke-0, kita bisa mengatur x = 0 (sebagai placeholder):
Iterasi ke-0:
x₀ ≈ 0
Pada iterasi ke-1, baru kita memasukkan persamaan:
Iterasi ke-1:
x₁ ≈ 1 ÷ (6 + x₀) = 1 ÷ 6
Iterasi ke-2:
x₂ ≈ 1 ÷ (6 + x₁) = 1 ÷ (6 + 1 ÷ 6)
Iterasi ke-3:
x₃ ≈ 1 ÷ (6 + x₂) = 1 ÷ (6 + 1 ÷ (6 + 1 ÷ 6))
Perhatikan angka 'kecil'-nya (₀, ₁, ₂, dsb) di variabel x.
Nah sekarang kita bisa membuat program-nya dengan Python.
sqrt_10.py
