Pesawat Kertas: lingkaran

Rabu, 24 November 2021

Teori Bulan Sabit Ibnu Al-Haitsam

"Semilingkaran AC dan AB dipotong oleh sebuah lingkaran yang berada di tengah persegi panjang ABCD dengan diameter CB. hitung total luas bulan sabit AB dan AC (yang berwarna hijau dan abu-abu)."

Catatan:

tanda silang merah adalah bagian tengah lingkaran.

Pertama, kita perlu menghitung luas semilingkaran AB dan AC (yaitu total luas yang berwarna hijau, abu-abu, dan merah).

luas semilingkaran ⯊AB = πr² ÷ 2
= π × (AB ÷ 2)² ÷ 2
= (π × AB² × (1÷2)²) ÷ 2
= (π × AB² × 1 ÷ 4) ÷ 2
= π × AB² × 1/4 × 1/2
= π × AB² × 1/8.
luas semilingkaran ⯊AC = πr² ÷ 2
= π × (AC ÷ 2)² ÷ 2
= (π × AC² × (1÷2)²) ÷ 2
= (π × AC² × 1 ÷ 4) ÷ 2
= π × AC² × 1/4 × 1/2
= π × AC² × 1/8.
total luas semilingkaran = π × AC² × 1/8 + π × AB² × 1/8
= 1/8π × (AB² + AC²)

Selepas itu, kita perlu 'memotong' luas semilingkaran yang sudah kita hitung.
Catatan:

Gambar dipisah karena sudah terlalu penuh.
kita perlu memotong luas dengan cara mengurangi total luas semilingkaran dengan luas interseksi (yang berwarna merah).

luas interseksi = luas semilingkaran COB - luas segitiga ABC
= (πr² / 2 - wh / 2)
= (πr² - wh) / 2
= (π × (CB ÷ 2)² - AB × AC) / 2
= (π × ( (√(AC² + AB²) × 1/2)² - AB × AC) / 2
= (π × (AC² + AB²) × 1/4 - AB × AC) / 2
= (π × (AC² + AB²) / 4) / 2 - (AB × AC) / 2
= π × (AC² + AB²) / 8 - AB × AC / 2

Setelah mengetahui luas interseksi, kita perlu mengurangi total luas semilingkaran dengan luas interseksi:

total luas bulan sabit = total luas semilingkaran - luas interseksi
= 1/8π × (AB² + AC²) - (π × (AC² + AC²) / 8 - AB × AC / 2)
= 1/8π × (AB² + AC²) + (AB × AC / 2 - π × (AC² + AC²) / 8)
= 1/8π × (AB² + AC²) + AB × AC / 2 + -1/8π × (AB² + AC²)
= -1/8π × (AB² + AC²) + 1/8π × (AB² + AC²) + AB × AC / 2
= AB × AC / 2

Bonus

Jadi, total luas bulan sabit AB dan AC adalah AB × AC / 2.

Rupa-rupanya luas ini sama dengan luas segitiga ▵ABC, yaitu luas yang berwarna biru.

Ilmuwan Ibnu Al-Haitsam. (sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Ibn_al-Haytham)

Hal ini pertama kali ditemukan sekitar pada abad ke-100 oleh seorang bernama Ibnu Al-Haitsam.

Teori lain yang ditemukan oleh Hippocrates: https://anak-kesayangan.blogspot.com/2021/04/cara-menghitung-luas-bulan-sabit.html

--MNA--

Selasa, 20 April 2021

Teori Luas Bulan Sabit Pada Lingkaran (Geometri SMP)

1. Pendahuluan

Ini adalah hasil eksplorasi belajar matematika geometri tentang menghitung bulan sabit pada lingkaran. Ada hal menarik di sini.

Menurut Hippocrates, Luas bulan sabit sama dengan Luas segitiga imajiner, seperti berikut:

sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates

Luas segitiga ▵BOA sama dengan area bulan sabit ☾BEAF.

Dalam contoh di atas, sudut ∠BOD = 45°.

Namun, apakah ini juga berlaku apabila sudut ∠BOD tidak 45°?

Ayo kita coba hitung.

Coba kita gunakan sudut aneh seperti 41°.

Bagaimana cara menghitungnya?

2. Cara menghitung luas berbagai bentuk

1. Kita perlu mengetahui cara menghitung luas segitiga.

Contoh segitiga yang akan kita ukur:

Cara mengukur segitiga dengan lebar w dan tinggi h

Kita perlu mengetahui luas segitiga ▵ABC.

Bagaimana cara mengetahui luasnya? kita bisa memindahkan daerah yang berwarna biru dan hijau ke bawah seperti pada gambar di atas.

Jadinya bentuk segitiga ▵ABC menjadi kotak dengan ukuran w × (h ÷ 2) dan mudah diukur

Catatan:

Walaupun segitiga ▵ABC berubah menjadi kotak, namun luas-nya tidak berubah.

▵ABC = w × (h ÷ 2) = w × (h × (1/2)) = w × h × (1/2) = w × h ÷ 2

luas sebuah segitiga adalah w × h ÷ 2

2. Kita perlu mengetahui cara menghitung luas juring.

Contoh luas juring yang akan kita hitung: (kita perlu mencari luas yang berwarna abu-abu)

Coba, juring dengan jari-jari sebesar r dan dengan sudut θ, dan berapa luasnya?

Luas lingkaran BO adalah πr², dan ingat, lingkaran adalah sebuah juring dengan sudut 360°, jadi, luas juring ⯊AOB = luas lingkaran BO dikalikan dengan θ / 360°.

luas sebuah juring adalah πr² × (θ / 360°)

2. Soal

Kita perlu mengetahui panjang OD, dan mengggunakan sin dan cos.

OC = OG = OA = OB = OF

Sudut ∠COB = ∠FOC - ∠FOB = 90° - 41° = 49°

Sudut ∠AOB = ∠FOB × 2 = 82°

DB = cos ∠HOB × OB = cos 49° × 1 ≈ 0.6560590289905073

AB = DB × 2 ≈ 1.3121180579810146

OD = sin ∠HOB × OB = sin 49° × 1 ≈ 0.754709580222772

luas juring ⯊ADB (yang berbentuk setengah lingkaran) = (∠ADB ÷ 360°) × DB² × 𝛑 ≈ 0.6560590289905073² × 𝛑 × (180 ÷ 360) ≈ 0.6760918655090852

luas segitiga ▵AOB = DO × AB ÷ 2 ≈ 0.754709580222772 × 1.3121180579810146 ÷ 2 ≈ 0.4951340343707852

luas juring ⯊AOB = (∠AOB ÷ 360°) × 𝛑 × OF² ≈ (82° ÷ 360°) × 𝛑 × 1² ≈ 0.7155849933176751

luas tembereng yang berwarna biru = luas juring ⯊AOB - luas segitiga ▵AOB ≈ 0.7155849933176751 - 0.4951340343707852 ≈ 0.22045095894688993

luas bulan sabit ☾BEAF (yang berwarna abu-abu) = luas juring ⯊ADB - luas tembereng yang berwarna biru ≈ 0.6760918655090852 - 0.22045095894688993 ≈ 0.45564090656219525

luas bulan sabit ☾BEAF ≈ 0.45564090656219525 dan luas segitiga ▵AOB ≈ 0.4951340343707852.

luas bulan sabit ☾BEAF ≈ 0.45564090656219525

luas segitiga ▵AOB ≈ 0.4951340343707852.

Kok, sepertinya berbeda, ya? apa karena angka pentingnya kurang banyak, atau memang mestinya berbeda?, untuk memastikannya, kita perlu menggunakan angka yang extrem contohnya 1 derajat.

Coba lihat gambar berikut (menurut saya menggunakan sudut 5° sudah cukup)

Catatan:

luas segitiga ▵ABO = luas persegi-panjang ABIJ

Menurutmu, mana yang luas-nya lebih besar? luas persegi panjang ABIJ? atau luas bulan sabit ☾BEAF? sepertinya, luas ABIJ jauh lebih besar daripada luas bulan sabit ☾BEAF.

Jadi, teori Lune Of Hippocrates hanya bekerja apabila sudut BOD 45° derajat.

Soal lain tentang lingkaran dan luas yang sebangun:

https://anak-kesayangan.blogspot.com/2021/05/soal-mencari-luas-lingkaran-dalam.html

Teori lain yang ditemukan oleh Ibnu Al-Haitsam:

https://anak-kesayangan.blogspot.com/2021/11/teori-bulan-sabit-ibnu-al-haitsam.html

--MNA--