Blog tentang segala aktivitas yang berhubungan dengan pendidikan dan pengajaran. Silahkan ambil yang dapat dimanfaatkan. Jangan lupa untuk mencantumkan nara sumber jika dirasa bermanfaat
Soal ini didapat dari grup Facebook Olimpiade Matematika SMP. Penasaran kan denagn soalnya, karena yang diketahui hanya luas lingkaran dalam dan bentuk segitiga yang terlihat sebangun.. Sementara hubungan lingkaran dan segitiga tidak dijelaskan secara mendetail sehingga panjang sisi setiap segitiga tidak diketahui. Ternyata memang tidak perlu. Dengan mengetahui perbandingan dan luas tiap lingkaran kita dapat mengetahui luas lingkaran ke 3 yang berwarna hijau.
Pembahasan
Luas lingkaran merah ke 1=15 π jadi diameter lingkaran merah ke 1= 2√15π
Luas lingkaran oranye ke 2= 20 π jadi diameter lingkaran oranye ke 2 = 2√20π
Dari gambar kita dapat melihat:
Δ AXD sebanding dengan Δ YXB dan Δ YDC.
Diameter lingkaran 1 akan sebanding dengan panjang AX, maka Diameter lingkaran 2 sebanding denagn XB dan Diameter lingkaran 3 sebanding dengan DC denagn faktor perbandingan tertentu.
Jadi panjang DC akan sebanding dengan diameter lingkaran ke 3 yang sudah disebutkan denagn faktor perbandingan = a.
DC= 2a√15π + 2a√20π
Dimana DC= 2a√zπ
2a√zπ== 2a√15π + 2a√20π
dan didapat
√z= √15+ √20
akan didapat nilai z= 8.3....
Jawaban
Dan luas lingkaran ke 3 kurang lebih adalah: 70π .
Catatan tambahan
Soal ini dikerjakan oleh anak 12 tahun yang terbangun karena penasaran ingin membuat solusinya....
Luas segitiga ▵BOA sama dengan area bulan sabit ☾BEAF.
Dalam contoh di atas, sudut ∠BOD = 45°.
Namun, apakah ini juga berlaku apabila sudut ∠BOD tidak 45°?
Ayo kita coba hitung.
Coba kita gunakan sudut aneh seperti 41°.
Bagaimana cara menghitungnya?
2. Cara menghitung luas berbagai bentuk
1. Kita perlu mengetahui cara menghitung luas segitiga.
Contoh segitiga yang akan kita ukur:
Cara mengukur segitiga dengan lebar w dan tinggi h
Kita perlu mengetahui luas segitiga ▵ABC.
Bagaimana cara mengetahui luasnya? kita bisa memindahkan daerah yang berwarna biru dan hijau ke bawah seperti pada gambar di atas.
Jadinya bentuk segitiga ▵ABC menjadi kotak dengan ukuran w × (h ÷ 2) dan mudah diukur
Catatan:
Walaupun segitiga ▵ABC berubah menjadi kotak, namun luas-nya tidak berubah.
▵ABC = w × (h ÷ 2) = w × (h × (1/2)) = w × h × (1/2) = w × h ÷ 2
2. Kita perlu mengetahui cara menghitung luas juring.
Contoh luas juring yang akan kita hitung: (kita perlu mencari luas yang berwarna abu-abu)
Coba, juring dengan jari-jari sebesar r dan dengan sudut θ, dan berapa luasnya?
Luas lingkaran BO adalah πr², dan ingat, lingkaran adalah sebuah juring dengan sudut 360°, jadi, luas juring ⯊AOB = luas lingkaran BO dikalikan dengan θ / 360°.
2. Soal
Kita perlu mengetahui panjang OD, dan mengggunakan sin dan cos.
OC = OG = OA = OB = OF
Sudut ∠COB = ∠FOC - ∠FOB = 90° - 41° = 49°
Sudut ∠AOB = ∠FOB × 2 = 82°
DB = cos ∠HOB × OB = cos 49° × 1 ≈ 0.6560590289905073
AB = DB × 2 ≈ 1.3121180579810146
OD = sin ∠HOB × OB = sin 49° × 1 ≈ 0.754709580222772
luas juring ⯊ADB (yang berbentuk setengah lingkaran) = (∠ADB ÷ 360°) × DB² × 𝛑≈ 0.6560590289905073² × 𝛑 × (180 ÷ 360) ≈ 0.6760918655090852
luas segitiga ▵AOB = DO × AB ÷ 2 ≈ 0.754709580222772 × 1.3121180579810146 ÷ 2 ≈ 0.4951340343707852
luas tembereng yang berwarna biru = luas juring ⯊AOB - luas segitiga ▵AOB ≈ 0.7155849933176751 - 0.4951340343707852 ≈ 0.22045095894688993
luas bulan sabit ☾BEAF (yang berwarna abu-abu) = luas juring ⯊ADB - luas tembereng yang berwarna biru ≈ 0.6760918655090852 - 0.22045095894688993 ≈ 0.45564090656219525
luas bulan sabit ☾BEAF ≈ 0.45564090656219525 dan luas segitiga ▵AOB ≈ 0.4951340343707852.
Kok, sepertinya berbeda, ya? apa karena angka pentingnya kurang banyak, atau memang mestinya berbeda?, untuk memastikannya, kita perlu menggunakan angka yang extrem contohnya 1 derajat.
Coba lihat gambar berikut (menurut saya menggunakan sudut 5° sudah cukup)
Catatan:
Menurutmu, mana yang luas-nya lebih besar? luas persegi panjang ABIJ? atau luas bulan sabit ☾BEAF? sepertinya, luas ABIJ jauh lebih besar daripada luas bulan sabit ☾BEAF.
Jadi, teori Lune Of Hippocrates hanya bekerja apabila sudut BOD 45° derajat.
Soal lain tentang lingkaran dan luas yang sebangun:
